月別アーカイブ: 2009年12月

先日、ジョリーと浅草の観音様まで朝の散歩に行って来ました。自宅から雷門まで約４０分、旅行者の方と写真の撮りっこをしました。仲見世を通ってお線香をあげてから、パチリ♪仲見世の旦那に可愛がらりたり、アメリカから来たお姉さんに“オーッ、キュート！”と撫でられたり、ジョリーはすっかりご機嫌でした。

問題…Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４文字を一列に並べるとき、ＡがＢより左側にくる並べ方は何通りありますか。解説と解答…ＡとＢを区別しないでどちらも〇と考え、〇、〇、Ｃ、Ｄの並べ方を考えればよいのです。何故なら〇の所には左側にＡを入れ、右側にＢを入れればよいからです。例えば、〇Ｃ〇ＤならばＡＣＢＤとなります。だから〇〇ＣＤの並べ方の一つに一つの問題の並べ方が対応します。よって並べ方は (２＋１＋１)！÷(２！×１！×１！)＝１２で、答えとなります。これは高校の数学のやり方ですが、別解があります。Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを一列に並べたとき、ＡはＢの左側にくるか、右側にくるかのどちらかしかなく、これらの並べ方は ４！＝２４通りです。だから、求める並べ方は２４÷２＝１２となります。これなら算数でも出来ますね。個別指導では生徒と会話をしながら教えることが出来るので、算数においても数学においても思考力を伸ばすことが出来ると思います。

先日、あるホテルに立ち寄ったらとても綺麗なクリスマスツリーがありましたのでパチリ♪ クリスマスツリーは年齢に関係なく良いものですね。

問題…Ａ君が電車の線路に沿う道を毎時４ｋｍの速さで歩いています。このとき、Ａ君は７分ごとに上りの電車に追い抜かれ、６分ごとに下りの電車とすれ違います。この電車の速さは毎時何ｋｍですか。ただし、上り、下りともに電車は等間隔、等速度で運転されており、電車の長さは考えないものとします。解説と解答…この問題は高校入試の数学の問題なのですが、算数でも簡単に出来そうですね。まずは中学の数学でいくと、出会う電車とＡ君の距離と追い抜かれる電車とＡ君の距離は同じなので今、電車とＡ君が同じ場所にいるとして、電車と電車の距離をｘｋｍ、電車の速さをｙｋｍとすると、追い抜かれる条件から ｘ÷(ｙ−４)＝７÷６０ すれ違う条件から ｘ÷(ｙ＋４)＝６÷６０ となります。これを解いて ｘ＝５，６ ｙ＝５２ です。算数でいくと線分図が必要です(個別指導なら丁寧に図の書き方を説明出来るのですが、残念です)。図を見れば簡単にわかるように電車が１分で行く距離を
Ａ君は１３分かかります。だから、速さの比は電車対Ａ君は１３：１で４×１３＝５２となります。算数の別解としては、出会うのとすれ違うのとの速さの比が７：６なので (□＋４)：(□−４)＝７：６となります。(□＋４)と(□−４)の差は８なので、７：６の差を８にして、５６と４８、□＝５６−４＝５２です。算数は素晴らしい！数学でも算数でも速さの和と差の考え方は大切です。

教室の水槽の親分です。渾名は東海の暴れん坊！ 清水の次郎長かはたまた暴れん坊将軍、吉宗か？植物性の餌もあげているので、体もしっかりとした青！ 海水魚屋さんの南洋ハギにも負けません。

問題…３つの数 ６９６、７６０、８５６をある数で割ったら、余りは全て等しくなりました。ある数を求めなさい。ただし、ある数は３０以上とします。解説と解答…上図のように線分図を書き、等しい余りを左に書きます。すると、それぞれの数から余りを引いた部分、Ａ、Ｂ、Ｃはある数です割り切れるので、その差の６４と９６もある数で割り切れることがわかります。よって、６４と９６の最大公約数の３２の約数が答えとなります。求める数は３０以上なので３２が答えです。この問題は線分図を書くとよくわかります。２つの差はどこでも大丈夫です。３０以上の制限の無いときは３２の約数で実際に割ってみて、割り切れない数が答えとなります。この問題は一応、高校入試の数学、つまり、中学の数学なのですが、中学入試の算数にも度々登場します。是非覚えて下さい。このように、中学入試の算数と高校入試の数学が全く同じ、又はとても似ているものが沢山あります。個別指導の私の塾では小学生に「この問題はずっと出てくる」と特に強調しています。

左側の写真では上、右側では下にいるのが今回紹介するアケボノです。尻尾の部分がとても綺麗な色をしていますが、少し貴婦人(カンムリニセスズメ)にかじられたようです。食欲は旺盛で大きめなシュリンプもパクリと食べてしまいます。アケボノの渾名は清少納言、春は曙から採りました。

問題…Ａが整数のとき、Ａ×Ａ−２８×Ａ＋１６０が素数になるには、Ａがいくつのときですか。また、その素数は何ですか。解説と解答…先ずは因数分解です。Ａ×Ａ−２８Ａ＋１６０＝(Ａ−８)(Ａ−２０)…†とします。†が素数となるとき、Ａ−８＝±１、Ａ−２０＝±１のどちらかだから、Ａ＝９、７、２１、１９ です。このうち、†がプラスになるのは　Ａ＝７、２１です。この時、どちらの場合でも　†＝１３で、確かに素数となります。これは中学の数学の入試問題ですが、高校の数学の整数問題としても登場しています。いづれにしても、整数問題の数学として大切なものです。算数では少し無理なようです。

今朝はジョリーとスカイツリーのふもとまで来てみました。現在、２１５メートルと書いてありました。右側の写真を見るとわかりますが、前を流れるのが、北十間川で隅田川と中川を結ぶ運河です。地元のおじいちゃんに聞きました。教室からゆっくり歩いて３５分くらいです。

問題…８Ａ＝５Ｂを満たす正の整数Ａ、Ｂの中で、積ＡＢが１００の倍数となる最も小さなＡの値はいくつですか。解答と解説…先ず、８と５は互いに素であることに気がついて下さい。これが大切です。だから、Ａは５の倍数、Ｂは８の倍数となるので Ａ＝５ｋ、Ｂ＝８ｋ(ｋは正の整数)と表せます。よってＡＢ＝５ｋ×８ｋ＝４０×ｋ×ｋとなり、これが１００の倍数となる最小のｋは５です。よって Ａ＝５×５＝２５です。これは中学の数学の整数問題のやや基本的か問題です。難しい整数問題でも互いに素がポイントになることが多々有ります。高校の数学や算数でも登場します。余談ですが、昨日、ある生徒さんが持って来た中学の数学の宿題が、なんと、一週間くらい前にふれあい広場に出した“おまけ”の問題でした。