問題…８７×８７＋１４×１４＝７７６５、７８×７８＋４１×４１＝７７６５ つまり、８７×８７＋１４×１４＝７８×７８＋４１×４１ となります。このように２桁の自然数の平方の和がそれらの十の位と一の位の数を入れ換えた自然数の平方の和に等しいことがあります。つぎもその例ですが、( ) を埋めなさい。但し ３５×３５＋５３×５３＝５３×３５×３５ のような組は除きます。…解答と解説…一方の２桁の自然数を １０ａ＋ｂ とすれば ２７×２７＋(１０ａ＋ｂ)(１０ａ＋ｂ)＝７２×７２＋(１０ｂ＋ａ)よって、(１０ａ＋ｂ)(１０ａ＋ｂ)−(１０ｂ＋ａ)(１０ｂ)＝７２×７２−２７×２７ よって、(１０ａ＋ｂ＋１０ｂ＋ａ)(１０ａ＋ｂ−１０ｂ−ａ)＝(７２＋２７)(７２−２７)よって、(１１ａ＋１１ｂ)(９ａ−９ｂ)＝９９×４５ よって、１１×９×(２＋ｂ)
(ａ−ｂ)＝１１×９×４５ となり、(ａ＋ｂ)(ａ−ｂ)＝４５ です。ａ＋ｂ とａ−ｂ は４５の約数だから、(ａ＋ｂ＝４５、ａ−ｂ＝１)、(ａ＋ｂ＝１５、ａ−ｂ＝３)、(ａ＋ｂ＝９、ａ−ｂ＝５) これらを解いて、題意より、ａ＝９、ｂ＝６ したがって、２７×２７＋(９６×９６)＝(７２×７２)＋(６９×６９) …答えです。高校入試の数学の平方数の面白い問題です。大学入試の数学でも平方にからんだ問題は大切になります。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。