問題…直線 ｙ＝ｍｘ が放物線 ｙ＝ｘｘ−４ｘ＋３ と交わる２点をＰ、Ｑとし、線分ＰＱの中点をＲとします。ｍが変わるとき、Ｒの軌跡を求めなさい。…解答と解説…ｙ＝ｍｘ …ア ｙ＝ｘｘ−４ｘ＋３ …イ とします。アとイからｙを消去すると、ｘｘ−(ｍ＋４)ｘ＋３＝０ …ウ ここで、アとイが異なる２点で交わるとき、ウは異なる２実数解をもつから、判別式＝(ｍ＋４)(ｍ＋４)−１２＞０ よって、ｍ＜−４−２√3 または、−４＋２√3 …エ このとき、ウの異なる２実数解をα、βとすると、解と係数の関係から、α＋β＝ｍ＋４ …オ α、βは交点Ｐ、Ｑのｘ座標であるから、Ｒ(Ｘ、Ｙ) とおくと、Ｘ＝(α＋β)／２ ＝ (ｍ＋４)／２ …カ Ｙ＝ｍＸ この２式より、ｍを消去して、Ｙ＝２ＸＸ−４Ｘ また、エ、カより、Ｘ＜−√3 または √3
＜Ｘ よって、Ｒの軌跡は、放物線 ｙ＝２ｘｘ−４ｘ の ｘ＜−√3 または、√3＜ｘに対する部分…答えです。数学の軌跡の問題、やや初歩的な問題です。私の塾でも、２点で交わることから範囲が出てくることを忘れる生徒さんが時折います。また、この数学の問題は解と係数で処理することが大切です。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。