問題…xy平面上の1≦x≦10、1≦y≦10の部分にある100個の格子点(x座標もy座標も整数である点)を考えます。これらの点と原点Oを結ぶ線分のうち、端点以外に格子点が存在しないものは何本ありますか。…解答と解説…これらの格子点をx座標がy座標より大きいグループ(グループA) x座標がy座標より小さいグループ(グループB) x座標とy座標が等しいグループ(グループC)に分けます。すると、題意を満たすような格子点の個数(線分は1つ1つの格子点に対応)は、グループAとグループBとでは、対称性により等しく、グループCには、(1、1)の1個だけになります。グループAに属する格子点を考えます。これらの格子点について、(y座標)/(x座標) を考えると、それらは、(1/2)、(1/3、2/3)、(1/4、2/4、3/4)、(1/5、2/5、3/5、4/5)…(1/10、2/1
0、3/10、4/10、5/10、6/10、7/10、8/10、9/10)となります。これらの分数のうち、既約分数のであるものの個数が、その分数の表す格子点と原点Oを結んだ線分が両端以外に格子点を通らないものの個数に等しくなります。ここで、分母がnのものをグループnととすると、グループnのうち既約分数の個数はオイラー関数を利用して、φ(2)+φ(3)+φ(4)+φ(5)+…+φ(9)+φ(10)となり、これを計算すると31になります。よって、グループBにも題意を満たす格子点は31個あり、答えは、2×31+1=63…答えとなります。大学入試の数学ですが座標上に、1≦x≦10、1≦y≦10の格子を作ってみれば気が付くと思います。あとはオイラー関数を使いましょう。私の塾でもオイラー関数を使いこなしている生徒さんは少ないですが。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。
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