問題…ｋ＞０ とします。点(ー３、ー１、０)を通り、ベクトル(１、１、ｋ)に平行な直線ｍが、点(０、２、３)を中心とする半径３の球面に接するように、定数ｋの値を定め、接点の座標を求めなさい。
…解答と解説…
ｍの方程式は(ｘ、ｙ、ｚ)＝(ー３、ー１、０)＋ｔ(１、１、ｋ)から、ｘ＝ー３＋ｔ、ｙ＝ー１＋ｔ、ｚ＝ｋｔ (ｔは実数) …† また、球面の方程式は、ｘｘ＋(ｙー２)(ｙー２)＋(ｚー３)＝９ これに†を代入すると、(ー３＋ｔ)(ー３＋ｔ)＋(ー３＋ｔ)(ー３＋ｔ)＋(ｋｔー３)(ｋｔー３)＝９ よって、(ｋｋ＋２)(ｋｋ＋２)ｔｔー６(ｋ＋２)ｔ＋１８＝０ …† 直線ｍが球面に接する条件は、２次方程式†の判別式について、Ｄ＝０ なので、ｋｋー４ｋ＝０ よって、ｋ(ｋー４)＝０ よって、ｋ＝０、４ ここで ｋ＞０ より ｋ＝４ …答えです。さらに†より ｋ＝４を代入して ｔ＝１ よって、接点の座標は †から (ー２、０、４)…答えです。大学入試の問題、空間ベ
クトルです。球の方程式、直線の媒介変数表示はきちんと覚えて下さい。後は”接する”、つまりＤ＝０ で処理します。東京都、算数数学専門個別指導塾、序理伊塾。