月別アーカイブ: 2010年3月

３月３０日、火曜日、８時出発。一枚目は親水公園から見たスカイツリー、２枚目はとても良く見える街角から、３枚目は錦糸公園から、４枚目は東武ホテルの２階入り口からのものです。東京スカイツリーは昨日で３３８メートル、東京タワーの３３３メートルを越えたそうです、いまでもかなりの威圧感がありますが、完成したら約２倍の高さになるので、どれ程の威圧感になるのかと考えてしまいます。

問題…円ｘｘ＋ｙｙ＝ｒｒ(ｘの二乗が表記出来ないのでｘｘとします)の外部の点Ｐ(ａ、ｂ)からこの円に引いた２本の接線の接点をＱ、Ｒとするとき、直線ＱＲの式を求めなさい。解説と解答…接点Ｑ、Ｒをそれぞれ(ｃ、ｄ)、(ｅ、ｆ)とすると、直線ＱＰ、ＲＰはそれぞれ、円周上の点Ｑ、Ｒにおける接線であるからＱＰ：ｃｘ＋ｄｙ＝ｒｒ(ア) ＲＰ：ｅｘ＋ｆｙ＝ｒｒ(イ)で与えられ、Ｐ(ａ、ｂ)は、これら２直線の交点であるから、(ア)と(イ)に代入して、(ｃａ＋ｄｂ＝ｒｒ(ウ) ｅａ＋ｆｂ＝ｒｒ(エ)が成立します。この(ウ)(エ)は直線ａｘ＋ｂｙ＝ｒｒ上に２点Ｑ(ｃ、ｄ)、Ｒ(ｅ、ｆ)がのっていることを示します。よって直線ＱＲはａｘ＋ｂｙ＝ｒｒです。高校の数学の問題ですが、まともにやるとちょっと面倒です。円周上の点に於ける接線の公式を使っています。個別指導の私の
教室である生徒に教えたのですが、なんだか手品みたいだと言っていました。ある意味で算数みたいな数学の解き方ですね。とにかく、算数でも数学でも頭を柔らかくしましょう。

新しく出来たスーパーの場所を調べにジョリーと出かけました。調べ終えてから、脇道にそれたら通ったことのない道に出ました。横川沿いの道です。ボートが作業船を引いていてミニ隅田川のようです。次の写真は新水公園の桜です。次のの二枚は錦糸公園の桜です。まだ肌寒い天気にも関わらず、お花見の場所とりのシートがあちこちにありました。

２点Ａ(ｐ、ｑ)Ｂ(ｍ、ｎ)を直径の両端とする円の方程式は、(ｘ−ｐ)(ｘ−ｍ)＋(ｙ−ｑ)(ｙ−ｎ)＝０となります。便利ですから是非覚えておいて下さい。証明は、線分ＡＢの中点の座標をだして、これが円の中心になります。あとは線分ＡＢの長さの半分が半径になります。そして、円の方程式に中心の座標と半径をいれれば完成です。円に関する問題は高校の数学のひとつの柱です。勿論、大学入試の数学の必須事項です。中学の数学では円の方程式は出て来ませんね。

一枚目の写真は、二代目のジョリーです。柴犬です。この椅子が大好きでした。自分のものと思っていたようです。三代目は、私と二人のものと思っているようです。二枚目からは三代目ジョリーの２ケ月半ころの写真です。トラさんが大きく見えます。今ではこのトラさんをくわえて振り回しています。

問題…長さが３センチ、４センチ、５センチ、６センチ、７センチの棒が１本ずつ有ります。このうちの３本の棒を辺として三角形をつくると、全部で何通りの三角形ができますか。解説と解答…三角形の最も長い辺の長さは、他の２辺の長さの和よりも小さいので、最も長い辺とする棒の長さで場合分けをすると、７…３と５、３と６、４と５、４と６、５と６ ６…３と４、３と５、４と５ ５…３と４ ですから、出来る三角形の数は５＋３＋１＝９通り…答えです。これは、ある中学の入試の算数の問題ですが、高校入試の数学でも出てきます。つい最近中学生に数学として教えました。個別指導の私の教室では、小学生から中学生、高校生、大学生が色々な問題を持ってくるので、とても楽しいです。特に場合の数や確率は算数、数学ともに大切です。

お天気がとても良かったので、猿江公園の周りをジョリーとのんびり歩いてみました。桜は蕾になっていてまもなく咲きそうです。花壇にも色々な花が咲いていて、ジョリーにお座りをしてもらって、パチリ♪。とても気持ちの良い朝でした。

問題…３個の数字１、２、３を用いて６けたの数字をつくるとき、(ア)同じ数字を何回でも用いてよいことにすると全部で何個できますか。また、(イ)同じ数字を４回まで用いてよいことにすると全部で何個できますか。解説と解答…(ア)は簡単ですね。６けたの整数のどのけたも１、２、３の３通りの数字を用いることができるから全部で ３×３×３×３×３×３＝３の６乗＝７２９個です。(イ)は余事象でやります。つまり、全体から(アの答え)から、６個全部同じ数字の場合と５個同じ数字の場合を引くのです。６個同じ数字の場合は３通り、５個同じ数字の場合は、同じ数字が１か２か３で３通り、それぞれに対して使える数字は２通りで、置ける場所は６箇所なので、３×２×６＝３６ ですから、７２９−(３＋３６)＝６９０…答えです。この問題は一応ある大学の数学の入試問題ですが、中学の数学は勿論のこと、中学入試の算数の問題としても出てきそうです。とにかくこのての算数もし
くは数学の問題は全体から引く、つまり余事象を考えると早いようです。

私とさんざん遊んだジョリーは気が付くとお気に入りの椅子で寝息をかいています。やれやれと思って本を読み出すと、いつの間にか目の前にお座りして、又遊ぼうの催促です。これを無視すると私の読んでいる本をかじりにきます。我が儘なジョリーです。

(ア)ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０と(イ)Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０との平行条件は、(ア)と(イ)をｙ＝…として、それぞれの傾きをだして一致させれば良い、とやると場合分けが必要になり、面倒なので平行条件は、ａＢ−ｂＡ＝０と覚えて下さい。又、垂直条件はａＡ＋ｂＢ＝０です。どちらも便利な公式です。活用して下さい。これらは、高校の数学ですが、中学の数学としても簡単に覚えられると思います。高校の数学では、垂直条件はベクトルの内積も登場してきます。個別指導の私の教室では、高校生にはついでに教えることもあります。