月別アーカイブ: 2013年12月

今日は大晦日。写真は雪の兼六園です。私の好きな風景の一つです。除夜の鐘が聞こえてきそうな静寂感。今夜は日本のあちらこちらのお寺の鐘を静かに楽しみたいと思います。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。

問題…ｎを自然数とします。ｎ＋３は６の倍数であり、ｎ＋１は８の倍数であるとき、ｎ＋９は２４の倍数であることを証明しなさい。…解答と解説…ｎ＋３＝６ｋ、ｎ＋１＝８ｍ(ｋ、ｍは自然数)とあらわされる。ｎ＋９＝(ｎ＋３)＋６＝６ｋ＋６＝６(ｋ＋１)、ｎ＋９＝(ｎ＋１)＋８＝８ｍ＋８＝８(ｍ＋１) よって、６(ｋ＋１)＝８(ｍ＋１) よって、３(ｋ＋１)＝４(ｍ＋１) ３と４はたがいに素なので、ｋ＋１は４の倍数である。したがって、ｋ＋１＝４ｐ(ｐは自然数)となります。よって、ｎ＋９＝６(ｋ＋１)＝６×４ｐ＝２４ｐ したがって、ｎ＋９ は２４の倍数となります。大学入試の数学、整数問題です。互いに素というのがポイント。私の塾でもきちんと証明するのが苦手な人がいます。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。

序理伊塾からのお知らせです。序理伊塾へのお問い合わせはホームページからのアクセスになっていますが、お急ぎの方やメールではご要望を伝え切れないと思われる方は直接お電話を下さい。電話番号は、０３−３８４６−６９０３ です。土曜日、日曜日も授業を行っていますし授業は朝の１０時から夜１０時までですので、お電話は何曜日の何時でも結構です。必ず私本人に繋がります。 東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。

問題…正の整数ｘを整数部分ａ小数部分ｂに分けると、ｘｘ＋ｂｂ＝１５ を満たすという。このとき、ａとｂの値を求めなさい。…解答と解説…ｘ＝ａ＋ｂ (０≦ｂ＜１)で、ｘｘ＋ｂｂ＝１５より、ｂｂ＝１５−ｘｘ ここで、ｂの条件より、０≦１５−ｘｘ＜１ よって、１４＜≦１５ ｘ＝３となるから、ａ＝３(答え)、 ｘ＝３＋ｂ (３＋ｂ)(３＋ｂ)＋ｂｂ＝１５ より、ｂｂ＋３ｂ−３＝０ 、０≦ｂ＜１ より、ｂ＝(−３＋√21)／２ …答えです。高校の数学の整数問題です。ｘ＝ａ＋ｂとおくのに慣れて下さい。大学入試の数学でも引き続き大切です。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。

師走のある一日、今年最後の銀座です。いつも通り、あるホテルから出発。“日比谷花壇”さんもお正月模様です。“伊太利屋”さんの大虎子虎さんも勢揃い、我が家と一緒です。みゆき通り界隈をあちらこちらと寄りながらモンブランの本店へ。そしていつも通りの最終地の松屋さん。屋上がスケート場となっているとテレビでみて行ってみました。小さいながらも立派なスケート場。屋上から下へ順に買い物がてら下って、松屋さんを後にしました。今年最後の銀座、満喫しました。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。

問題…３つの数ａ、ｂ、ｃが条件ａ＋ｂ＋ｃ＝６かつａ＜ｂ＜ｃを満たしています。ａ、ｂ、ｃがこの順で等差数列をなし、別の順に並べかえると等比数列になるとき、ａ、ｂ、ｃの値を求めなさい。…解答と解説…ａ、ｂ、ｃはこの順に等差数列だから、ａ＋ｃ＝２ｂ これとａ＋ｂ＋ｃ＝６ より、３ｂ＝６ でｂ＝２です。よって、(ａ、ｂ、ｃ)＝(２−ｄ、２、２＋ｄ) …ａ＜ｂ＜ｃ よりｄ＞０ から。２−ｄが等比数列の真ん中のとき、２×(２＋ｄ)＝(２−ｄ)(２−ｄ) よって、ｄｄ−６ｄ＝０ ｄ＞０ より、ｄ＝６ となり、ａ＝−４、ｂ＝２、ｃ＝８ ２が等比数列の真ん中のとき、(２−ｄ)(２＋ｄ)＝２×２ このとき、ｄ＝０ となり、ｄ＞０ に反します。２＋ｄが等比数列の真ん中のとき、２×(２−ｄ)＝(２＋ｄ)(２＋ｄ) このとき、ｄ×ｄ＋６ｄ＝０ となり、これも、ｄ＞０
に反します。よって、ａ＝−４、ｂ＝２、ｃ＝８…答えです。数学の数列、等差数列の等差中項と等比数列の等比中項の問題です。難しくはありませんが場合分けがあるのでやや面倒です。私の塾でも高校の数学の数列でこれらにうっかりする生徒さんもいます。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。

“謝朋殿”で食事をしてから今日は錦糸町のオリナスです。正面から入ると大きなクリスマスツリーが飾られていて全館クリスマス一色。３Ｆから２Ｆ、1Ｆと降りて買い物です。今日の主な目的はジョリーの帽子の収納ケース、結局可愛らしい大きめなケースがを見つけて満足しました。そして、タリーズでコーヒーとケーキ。錦糸町、オリナス、とても楽しいスポットです。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。

問題…大小２つのサイコロを投げて出た目の数をそれぞれａ、ｂとします。このとき、ｘとｙについての連立方程式、ｘ＋２ｙ＝ａ、−３ｘ＋ｙ＝４ｂ の解ｘ、ｙがともに整数となる確率を求めなさい。…解答と解説…連立方程式 ｘ＋２ｙ＝ａ…ア −３ｘ＋ｙ＝４ｂ…イ の解ｘが整数のとき、イよりｙも整数となります。アとイより、ｘ＝(ａ−８ｂ)／７ ＝(ａ−ｂ)／７ − ｂ より、(ａ−ｂ)／７ が整数のとき、ｘは整数となります。ここで、ａ、ｂは１〜６の整数なので、(ａ−ｂ)／７ が整数となるのは、ａ−ｂ＝０、つまり、ａ＝ｂのときだけです。サイコロを２つ振ったときの目の出方は、６×６＝３６通りあり、ａ＝ｂとなるのは、６通りです。よって、求める確率は ６／３６ ＝ １／６ …答えです。高校入試の数学、整数解に確率のからんだ問題です。確率は特に大切な数学の問題なので頑張りましょう。算数でも“確からしさ”
という言葉で出てきます。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。

寒い朝です。私はすっかりと着こんで寒さ対策完了、ジョリーは寒さは大歓迎？ 親水公園を経由して錦糸公園、いつものコースです。最近ジョリーは電信柱の臭いを嗅ぐのが好きになった様子で…まぁいいでしょう。錦糸公園の周りを２周します。そして、ベンチで一休み。ジョリーと私の楽しいひとときです。ジョリーは寒さが大好きなようで芝生の上をはしゃぎまわります。朝８時出発、１０時帰宅の２時間散歩…ジョリーはとても楽しみなようです。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。

ｘについての２次方程式 ｘｘ＋ｎｘ−１９９６＝０ が整数解をもつとき、整数ｎが取りうる値は何通りありますか。…解答と解説…与式の整数解をｐ、もう一つの解をｑとすると、解と係数の関係より、ｐ＋ｑ＝−ｎ…ア ｐｑ＝−１９９６ 、ここで、アよりｑも整数となります。また、１９９６＝２×２×４９９ なので、(ｐ、ｑ)＝(＋１、−１９９６)、(−１、＋１９９６)、(＋２、−９９８)、(−２、＋９９８)、(＋４、−４９９)、(−４、＋４９９)となり、取りうるｎの値は、＋１９９６、−１９９６、＋９９６、−９９６、＋４９５、−４９５となります。よって、６通り…答えです。数学の２次方程式の整数解の問題です。これは高校入試の数学で大学入試の数学の整数解の問題は難しくなります。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。