解説と解答…前にご案内した問題と同じてすね。赤をx枚、黄をy枚、緑をz枚とるとすると、x+y+z=6、x≧0、y≧0、z≧0 という問題になります。6個の〇と2個の仕切り | を考えて †+†C†=†C†=28 これが答えです。これはある国立大の文系の入試の数学の問題です。難しい数学ではありませんね。これにも別解は色々とあります。考えてみて下さい。いつもお知らせしているように別解は算数や数学の思考力をアップしてくれます。
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高校の数学です…問題:赤、黄、緑のカードがあり、同じ色のカードは区別しないものとします。重複を許して合計6枚をとるとき、何通りの選び方がありますか。
2009年11月30日 先生と生徒(卒業生も)のふれあい広場
教室の海水魚
2009年11月29日 先生と生徒(卒業生も)のふれあい広場
高校の数学、重複の組み合わせ、その3
2009年11月28日 先生と生徒(卒業生も)のふれあい広場
問題…x≧0、y≧0、z≧0のとき x+y+z≦8 を満たす(x、y、z)の整数解は何通りありますか。解説と解答…うーん、これは面倒くそう、でも先ずはシンプルにやりましょう。8、7、6〜0までを、その2と同じようにやれば良い訳で、†C†+†C†+…+†C†+†C†=45+36+28+21+15+10+6+3+1=165通りです。これが答えです。続いて驚きの別解…wを登場させて、w=8−(x+y+z)とすると、x+y+z≦8より w≧0となり x≧0、y≧0、z≧0、w≧0、x+y+z+w=8という問題になり、8個の〇と3個の仕切りの | が使えます。よって 8+3=11の枠から3個選べば良いので †C†=165です。算数でも数学でも別解は頭を柔軟にします。暇な折々自分で別解を考えるのも面白いと思います。何日か前にセンターの数学の過去問を個別指導で教えましたが別解の早い解法も必要ですね。センターはある意味で時間との戦いですから…
教室の海水魚…私はカクレクマノミ、渾名はポンチョ♪
2009年11月27日 先生と生徒(卒業生も)のふれあい広場
最近のスカイツリーと錦糸町のイルミネーション
2009年11月26日 先生と生徒(卒業生も)のふれあい広場
重複の組み合わせ、…高校の数学です、その2
2009年11月26日 先生と生徒(卒業生も)のふれあい広場
問題…x≧0、y≧0、z≧0、x+y+z=8を満たす整数解(x、y、z)は何通りありますか。解答と解説…その1との違いはわかりますね。その1は1以上、つまり自然数で今回は0以上なのです。今回も〇を8個と仕切り2個を考えます。これからが大切です。今回は8個の〇と2個の仕切り、| の合計10個の枠を考えます。この10個の枠から8個又は2個選べばよいのです。仕切り、|が2個続いてもよいのです。(その場合は0になります) ですから†C†=45 答えは45通りです。別解のその1は重複の組み合わせの公式です。x、y、zと3種類の文字があるので、異なる3つの中から重複ありで8個選ぶと考えて †H†=†+†−†C†=†C†=†C†=45 です。どちらでも、やり易い方で良いと思います。しかし、両方覚えておいて下さい。別解のその2はいずれご案内します。これは勿論高校の数学ですが、中学入試の算数としても、書き出せる範囲で出題されます。しかし、個別指導の私の塾では、この
考え方を教えています。x、y、zの数を追わないで枠で考える発想を教えたいからです。算数でも数学でも柔軟な発想は大切にしたいと思います。
ジョリーとの朝の散歩で亀戸天神!(その2)
2009年11月25日 先生と生徒(卒業生も)のふれあい広場
重複の組み合わせ、…中学の数学?いや高校の数学…その1
2009年11月24日 先生と生徒(卒業生も)のふれあい広場
問題…x≧1、y≧1、z≧1、x+y+z=8を満たす整数解(x、y、z)の個数を求めなさい。解説と解答…〇を8個並べて、この〇と〇の間が7か所あるので、この7か所から2個を選んで仕切りを入れ、1本目の仕切りの左側の〇の個数がx、1本目と2本目の仕切りの間の〇の個数がy、2本目の仕切りの右側の〇の個数がzと考えます。仕切りの入れ方は7個の中から2個選ぶ組み合わせで †C†=21 で、21通りです。これは高校の数学でとても大切な問題です。中学の数学でも教えてよいかも知れません。序理伊塾は個別指導の塾なので、教えてみることにしました。
亀戸天神の菊祭り…その1( ジョリーとの散歩で)
2009年11月23日 先生と生徒(卒業生も)のふれあい広場