問題…ｘｘー３ｘ＋４＝０ の２つの解が α、β であるとき、２次式 ｆ(ｘ) で、ｆ(α)＝β、ｆ(β)＝α、ｆ(α＋β)＝α＋β を満たすものをは、ｆ(ｘ)＝(１/４)×(□ｘｘー□ｘ＋□)となります。□にあてはまる数を求めなさい。
…解答と解説…
ｘｘー３ｘ＋４＝０ の２つの解 α、β について、α＋β＝３、αβ＝４ となります。求める２次式 ｆ(ｘ)は、３点 Ａ(α、β)、Ｂ(β、α)、Ｃ(α＋β、α＋β) を通る放物線になります。また、直線 ＡＢ の方程式は ｙ＝{(αーβ)/(βーα)}×(ｘーα)＋β つまり、ｙ＝ーｘ＋３ です。直線ＡＢを引き算することにより、ｆ(ｘ)ー(ーｘ＋３)＝ａ(ｘーα)(ｘーβ) よって、ｆ(ｘ)＝ａ(ｘーα)(ｘーβ)＋(ーｘ＋３) ここで、ｆ(ｘ)は点Ｃ(α＋β、α＋β) を通るから代入して、α＋β＝ａαβー(α＋β)＋３ よって、３＝４ａー３＋３、よって ａ＝３/４ 以上から、ｆ(ｘ)＝(３/４)(ｘｘー３ｘ＋４)ーｘ＋３ よっ
て、ｆ(ｘ)＝(１/４)(３ｘｘー１３ｘ＋２４) よって、順に、３、１２、２４…答えです。大学入試の数学の問題です。放物線と直線の関係で考える問題です。少しやりにくいかも知れません。数学個別の私の塾でもてこずる生徒さんが多いです。東京都 算数個別、数学個別、序理伊塾。