問題…ｘｙ平面上の１≦ｘ≦１０、１≦ｙ≦１０の部分にある１００個の格子点(ｘ座標もｙ座標も整数である点)を考えます。これらの点と原点Ｏを結ぶ線分のうち、端点以外に格子点が存在しないものは何本ありますか。…解答と解説…これらの格子点をｘ座標がｙ座標より大きいグループ(グループＡ) ｘ座標がｙ座標より小さいグループ(グループＢ) ｘ座標とｙ座標が等しいグループ(グループＣ)に分けます。すると、題意を満たすような格子点の個数(線分は１つ１つの格子点に対応)は、グループＡとグループＢとでは、対称性により等しく、グループＣには、(１、１)の１個だけになります。グループＡに属する格子点を考えます。これらの格子点について、(ｙ座標)／(ｘ座標) を考えると、それらは、(１／２)、(１／３、２／３)、(１／４、２／４、３／４)、(１／５、２／５、３／５、４／５)…(１／１０、２／１
０、３／１０、４／１０、５／１０、６／１０、７／１０、８／１０、９／１０)となります。これらの分数のうち、既約分数のであるものの個数が、その分数の表す格子点と原点Ｏを結んだ線分が両端以外に格子点を通らないものの個数に等しくなります。ここで、分母がｎのものをグループｎととすると、グループｎのうち既約分数の個数はオイラー関数を利用して、φ(２)＋φ(３)＋φ(４)＋φ(５)＋…＋φ(９)＋φ(１０)となり、これを計算すると３１になります。よって、グループＢにも題意を満たす格子点は３１個あり、答えは、２×３１＋１＝６３…答えとなります。大学入試の数学ですが座標上に、１≦ｘ≦１０、１≦ｙ≦１０の格子を作ってみれば気が付くと思います。あとはオイラー関数を使いましょう。私の塾でもオイラー関数を使いこなしている生徒さんは少ないですが。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。