<問題> 実数 x、y が x x + y y = 1 という関係を満たしながら動くとき、点 P( x+y、 x y ) の軌跡を求めなさい。<解説と解答> x+y = u、 x y = v とおきます。 x x + y y = 1 から、( x+y)( x+y) ー 2 x y = 1 よって、uu ー2v= 1 よって、v= (1/2) uu ー 1/2 …➀ また、 xとy は 2次方程式 t t ー u t + v= 0 の2つの解であり、しかも実数だから、判別式をDとすると D=uuー4v ≧ 0…➁ ここで、➀を➁に代入して、ーuu+2≧ 0、これを解いて、ー√2 ≦ u ≦√2 よって、点(u、v) の動く範囲は、放物線 v=(1/2)uuー1/2 の ー√2≦ u≦ √2 の部分。以上から、求める軌跡は、放物線 y = (1/2) x xー1/2 の ー√2≦ x ≦ √2 の部分になります。…答えです。大学入試の数学の問題です。まずは、 x +y = u、 x y=v とおくのがポイントです。更に気をつけなければならないのは、 x、y は 2次方程式 t t ー u t + v= 0 の2つの実数解どなるから、D≧ 0 が必要になります。慣れないと簡単にはいきませんが、是非練習して下さい。東京都 算数個別、数学個別、序理伊塾。