問題…x+y+z=a、a(yz+zx+xy)=xyzが成り立つとき、xとyとzのうち、少なくとも1つはaであることを証明しなさい。
…解答と解説…
少なくとも1つはaてきたら、(x−a)(y−a)(z−a)=0を示せばよいのです。これは必ず覚え下さい。私の塾の生徒さん達にも強調しています。ところで、(x−a)(y−a)(z−a)=xyz−(yz+zx+xy)a+(x+y+z)aa−aaa よって、x+y+z=a、a(yz+zx+xy)=xyzが成り立つとき、(x−a)(y−a)(z−a)=xyz−xyz+a×aa−aaa=0 となります。よって、xとyとzのうち少なくとも1つはaとなります。この数学の問題は、少なくとも1つは1という形で出題されることもあります。このときは、aを1に置き換えます。東京都 算数、数学の個別指導塾、序理伊塾。