問題…ａ、ｂは定数とします。関数 ｆ(ｘ)＝ｘｘｘｘ＋ａｘｘｘ＋ｂｘｘ が極大値と極小値をともにもつための条件を求めなさい。
…解答と解説…ｆ´(ｘ)＝４ｘｘｘ＋３ａｘｘ＋２ｂｘ＝(４ｘｘ＋３ａｘ＋２ｂ) ｆ(ｘ)が極大値と極小値をもつ条件は、ｆ´(ｘ)の符号が正から負に変わるｘの値と、負から正に変わるｘの値が存在することです。ｆ´(ｘ)は３次関数なので、このことは、ｙ＝ｆ´(ｘ)のグラフがｘ軸と異なる３点を共有すること、つまり、３次方程式 ｆ´(ｘ)＝０ が異なる３つの実数解をもつことと同値になります。よって、ｘをとりあえず省いて ２次方程式４ｘｘ＋３ａｘ＋２ｂ＝０ がｘ＝０ 以外の異なる２つの実数解をもてばよいことになります。よって、Ｄ＞０ かつ ４×０×０＋３ａ＋２ｂ≠０ よって、Ｄ＝９ａａ−３２ｂ＞０ かつ ｂ≠０ …答えです。高校の数学、微分です。グラフがどのようになればよいのか、増減表がどのようになればよいのかを考えればよいと思います。東京都、算数数学個別指導塾、序理伊塾。