問題…次の条件 (Ａ)、(Ｂ)をともに満たすような、多項式で表された関数ｆ(ｘ)があります。ｆ(ｘ)を求めなさい。
(Ａ) ｆ´(ｘ) は１次関数 (Ｂ)ｘｘｆ´(ｘ)−(２ｘ−１)ｆ(ｘ)＝１
…解答と解説…
ｆ´(ｘ) が１次関数なので、ｆ(ｘ)は２次関数になります。ここで、ｆ(ｘ)＝ａｘｘ＋ｂｘ＋ｃ (ａ≠０)とおくと ｆ´(ｘ)＝２ａｘ＋ｂ 条件の等式から ｘｘ(２ａｘ＋ｂ)−(２x−１)(ａｘｘ＋ｂｘ＋ｃ)＝１ よって、(ａ−ｂ)ｘｘ＋(ｂ−２ｃ)ｘ＋ｃ＝１ これがｘについての恒等式なので、ａ−ｂ＝０、ｂ−２ｃ＝０、ｃ＝１ これを解いて ａ＝２、ｂ＝２、ｃ＝１ よって、ｆ(ｘ)＝２ｘｘ＋２ｘ＋１ …答えです。子の数学、微分を使った関数の決定の問題です。先ずは、ｆ´(ｘ)が１次式なので、ｆ(ｘ)は２次式になることに気がついて下さい。あとは計算をしていって、恒等式で仕上げます。東京都、算数数学個別指導塾、序理伊塾。