問題…kにどのような値を与えても、直線L:(xー2y+3)+k(xーyー1)=0 は常に定点□を通る。点P(1、3)、Q(5、1)とするとき、線分PQと直線Lが交わるようなkの値の範囲は□である。また、線分PQ上の点でLとの交点となり得ない点の座標は□である。
…解答と解説…
L:(xー2y+3)+k(xーyー1)=0 が任意のkに対して成り立つ。よって、xー2y+3=0 かつ xーyー1=0 この連立方程式を解いて、x=5、y=4 よって、定点は(5、4) …答えです。f(x、y)=(xー2y+3)+k(xーyー1)とおく。直線Lが線分PQと交わるためには、2点P、QがLに対して、反対側に位置すればよい。よって、f(P)×f(Q)≦0 ここで、f(P)=f(1、3)=ー2ー3k f(Q)=f(5、1)=6+3k よって、(ー2ー3k)(6+3k)≦0 、(3K+2)(3k+6)≧0 よって、k≦ー2、ー2/3 ≦ k …答えです。また、直線PQの方程式はx+2yー7=…† ここで、直線Lは直線 xーyー1=0 …†
を表すことができないから、†と†の交点(3、2)はLとの交点になりえない。大学入試の数学、よく見かける問題です。じっくりとやってみて、マスターして下さい。東京都、算数数学個別指導塾、序理伊塾。