問題…ｘｘー３ｘ＋４＝０ の２つの解がα、βであるとき、２次式ｆ(ｘ)でｆ(α)＝β、ｆ(β)＝α、ｆ(α＋β)＝α＋β を満たすものを求めなさい。
…解答と解説…
ｘｘー３ｘ＋４＝０の２つの解α、βについて α＋β＝３、αβ＝４ また、求める２次式は ３点Ａ(α、β)、Ｂ(β、α)、Ｃ(α＋β、α＋β)を通る放物線です。直線ＡＢの方程式は ｙ＝{(αーβ)/(βーα)}×(ｘーα)＋β すなわち、ｙ＝ーｘ＋３ になります。ｆ(ｘ)とこの直線ＡＢを引き算することにより、求める２次式は ｆ(ｘ)ー(ーｘ＋３)＝ａ(ｘーα)(ｘーβ) よって、ｆ(ｘ)＝ａ(ｘーα)(ｘーβ)＋３ これが、点Ｃ(α＋β、α＋β)を通るから、α＋β＝ａαβー(α＋β)＋３ よって、３＝４ａー３＋３ よって、ａ＝３/４ 以上から、ｆ(ｘ)＝３/４(ｘｘー３ｘ＋４)ーｘ＋３ よって、ｆ(ｘ)＝１/４(ｘｘー１３ｘ＋２４)…答え
です。大学入試の数学の問題です。放物線と３点の図、さらに直線ＡＢを書いてみるとよくわかると思います。この考え方に慣れて下さい。東京都 算数個別、数学個別、序理伊塾。