問題…ｐ、ｑを整数とし、ｆ(ｘ)＝ｘｘ＋ｐｘ＋ｑ とおきます。このとき、ｆ(１)もｆ(２)も２で割りきれないとき、方程式 ｆ(ｘ)＝０ は整数の解をもたないことを示しなさい。
…解答と解説…
背理法で示します。ｆ(１)、ｆ(２)ともに２で割りきれないとして、さらに、方程式ｆ(ｘ)＝０が整数解ｎをもつとします。† ｎ＝２ｍのとき ｆ(２ｍ)ーｆ(２)＝４(ｍｍー１)＋２ｐ(ｍー１) ここで、ｆ(２ｍ)＝０より、ｆ(２)は偶数となり、仮定に矛盾します。† ｎ＝２ｍ＋１ のとき、ｆ(２ｍ＋１)ーｆ(１)＝４(ｍｍ＋ｍ)＋２ｐｍ ここで、ｆ(２ｍ＋１)＝０より、ｆ(１)も偶数となり、仮定に矛盾する。以上から、方程式ｆ(ｘ)＝０ は整数の解をもたない。大学入試の数学の問題です。背理法を使います。東京都 算数個別、数学個別、序理伊塾。