ａを実数として、ｘについての整式 ｆ(ｘ)＝ｘｘｘ＋(ａー２)ｘｘ＋(ａａー１２ａ＋１７)ｘー２ａａ＋２０ａー３４ について、(ア) ｆ(ｘ)は(ｘー２)で割り切れることを示しなさい。また、(イ)方程式 ｆ(ｘ)＝０ が相異なる３つの実数解をもつようなａの値の範囲を求めなさい。…解答と解説…
(ア)… ｆ(２)＝８＋４(ａー２)＋２(ａａー１２ａ＋１７)ー２ａａ＋２０ａー３４＝０ よって因数定理より、ｆ(ｘ)は(ｘー２)で割り切れる。…答えです。(イ)… (ア)よりｆ(ｘ)は、ｆ(ｘ)＝(ｘー２)(ｘｘ＋ａｘ＋ａａー１０ａ＋１７) と因数分解出来ます。したがって、ｇ(ｘ)＝ｘｘ＋ａｘ＋ａａー１０ａ＋１７ とおくと、ｇ(ｘ)＝０がｘ＝２以外の異なる２つの実数解をもてばよいということになります。ｘｘ＋ａｘ＋ａａー１０ａ＋１７＝０ …† の判別式をＤとおくと、Ｄ＝ー３ａａ＋４０ａー６８＞０ よって、(３ａー３４)(ａー２)＜０ よって、２＜ａ＜３４／３ また、ｘ＝２を†へ代入すると ａａー８ａ＋２１＝０ よって、(ａー４)(ａー４)＋５＝０となるが、これはａが実数であることに反し
ます。よって、†はｘ＝２を解にもちません。以上から、２＜ａ＜３４／３ …答えです。
大学入試の数学の問題です。因数定理と判別式、簡単と思います。最後に ｘ＝２ を代入して確認することが必要です。気を付けて下さい。東京都 算数個別、数学個別、序理伊塾。