問題…x≧10、y≧10、xy=10の3乗 のとき、(logx)(logy)の最大値と最小値を求めなさい。また、そのときの xとy の値を求めなさい。(logの底は10とします)
…解答と解説…
xy=10の3乗 から底が10の対数をとって、logxy=log(10の3乗) よって、logx + logy = 3 ここで、logx=X 、logy=Y とおくと x≧10 から X≧1、y≧1 から Y≧1 更に X+Y=3 から、Y=3ーX≧1 よって、X≦2 したがって、Xの変域は 1≦X≦2 (logx)(logy)=XY=X(3ーX)=ーXX+3X=ー(Xー3/2)(Xー3/2)+9/4 よってグラフを書いて、最小値2 (X=1、2) 最大値 9/4 (X=3/2) ここで、X=1 のとき x=10、X=2 のとき x=100、X=3/2 のとき x=10(の3/2乗) 以上から、最大値 9/4 (x=10の3/2
乗、y=10の3/2乗)最小値 2 (x=100 で y=10、x=1000) …答えです。大学入試の数学の問題、対数です。簡単な問題と思いますが、Xの変域が、1≦X≦2 となることに注意して下さい。数学個別の私の塾でもうっかりする生徒さんが多いです。東京都 算数個別、数学個別、序理伊塾。
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