月別アーカイブ: 2010年3月

出発は朝の８時丁度。ジョリーの朝のご用を途中で済ませて、亀戸天神に到着したのが、８時40分。梅はまだ６分咲きくらいでした。池には、まだ寒いのでしょう、亀さんは一匹も水面に出ていませんでした。それから、生徒さんの家の前まで行って生徒さんとお母さんとに、ご対面しました。帰り道、錦糸公園に寄ったらマフちゃんとナッツちゃんが例によって駆け寄って来てくれました。ジョリーの２度目の亀戸天神参りでした。

問題…約数が３個しかない整数を、小さい方から５個求めなさい。解説と解答…約数が３個しかない整数は、同じ素数を２個かけた形で表される。２×２＝４、３×３＝９、５×５＝２５、７×７＝４９、１１×１１＝１２１の５個です。答えは、４、９、２５、４９、１２１ です。この問題は中学入試の算数で大切なものですが、中学の数学としても重要です。算数、数学のどちらにしても簡単に覚えられますから、是非覚えておいて下さい。又、算数でも数学でも約数の個数を求める問題と表裏になっています。

朝の７時３０分の親水公園の写真です。一枚目の橋は法恩橋です。その上は蔵前橋通り、最後の写真の先が釣り堀になっていて、その向こうが浅草通りです。スカイツリーはすぐそこになります。現在、３０３メートルを超えました。写真を撮っている間はジョリーは大人しく待っています。

問題…３／５ の分子と分母にそれぞれ同じ整数を加えて約分したところ、７／８ になりました。加えた整数を求めなさい。解説と解答…分子と分母に同じ整数を加えたのだから、差は一定です。最初の差は ５−３＝２ です。後の差は ８−７＝１ なので、２にするために、それぞれを２倍して、８×２＝１６ ７×２＝１４ だから 整数を加えた後の分数は１４／１６ になります。加えた整数は分子でやると、１４−３＝１１ これが答えです。算数らしい問題です。算数では、和が一定とか差が一定とかを見付けることが大切でそれが算数の極意の一つです。中学の数学では方程式を作れば、簡単に出来ます。とにかく、算数では和が一定とか差が一定とかに敏感になっていておいて下さい。

最初の２枚の子はピジョンフリーゼの４才の男の子です。３枚目はいつも登場するマフちゃん、今日も遠くから私とジョリーを見付けて走り寄って来てくれました。今日はイチゴの帽子です、可愛いですね。最後はジョリーと同種のシェットランドのブルーマールです。

問題…ｘ＞０、ｙ＞０、ｘ＋ｙ＝１のとき、１／ｘ＋４／ｙの最小値を求めなさい。解説と解答…１／ｘ＋４／ｙ＝１×(１／ｘ＋４／ｙ)…１を付け加えて＝(ｘ＋ｙ)(１／ｘ＋４／ｙ)…ｘ＋ｙ＝１より ＝１＋４ｘ／ｙ＋ｙ／ｘ＋４＝５＋(４ｘ／ｙ＋ｙ／ｘ)≧５＋４…４ｘ／ｙ＋ｙ／ｘの相加相乗平均より、よって１／ｘ＋４／ｙ≧５＋４＝９ 最小値は９です。等号成立のときは省略します。相加相乗平均は文科系の数学の重要なテクニックの一つです。例えば、分数関数の最大、最小などは数学の３ではグラフで解けますが、数学の２までの範囲で相加相乗平均で解ける場合も多々あります。＞０という条件学校あったら相加相乗を疑ってみて下さい。大学入試の数学では避けてはとおれない事項です。高校の数学の教科書にも載っています。個別指導の私の塾では＞０に気を付けるように、日頃から注意しています。

家内と時折、このレストランに来ます。錦糸町の駅前の建物の１０階です。いつも窓際の同じ席に座ります。以前は遠くに飛行機の姿が見えたのですが、最近は見えません。とにかく眺めが良いのです。心がスーッとして和みます。お店の人達も店長さんを初めとても感じが良くて親切です。味もバッチリです。ここで食事をして、９階の本屋さんに寄って、同じ９階のペットショップに行ってジョリーのおやつを買います。野菜は有機栽培だそうです。ジョリーは美味しそうに食べてくれます。

問題…ｘ＋ｙ＋ｚ＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ＝１のとき、ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも１つは１に等しいことを示しなさい。解説と解答…ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも１つは１ということは、(ｘ−１)(ｙ−１)(ｚ−１)＝０をしめせば良いということを覚えなければいけません。１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ＝ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ／ｘｙｚ＝１ よって、ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝ｘｙｚ そして (ｘ−１)(ｙ−１)(ｚ−１)＝ｘｙｚ−(ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ)＋(ｘ＋ｙ＋ｚ)−１＝ｘｙｚ−ｘｙｚ＋１−１＝０ よって、ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも１つは１に等しい。この問題は大学入試の数学の有名な問題です。中学の数学には出てきません。私の個別指導の教室では、準公式として教えています。学校の数学では扱わないと思います。数学の問題集では結構、出て来ます。どちらにしても、大学入試の大切な数学の問題です。

上の左端に写っている建物が都立墨東病院です。それから、いつも行っている猿江公園、最後の写真の左端がティアラコウトウです。川は大横川です。川に沿って遊歩道があって、ここを通って錦糸公園に行きます。今日は２時間コースでジョリーはとても喜んでいます。錦糸公園ではナッちゃん、マフちゃんがきっと待っていてくれます。

問題…１つのサイコロを２回投げて、出た目の和をｎとします。このｎを用いて分数ｎ／３ｎ＋３５を作るとき、この分数が約分できるようなｎの値を全て求めなさい。解説と解答…どうやったらよいか解らないけれど、書き出せると思ったら、迷わずに書き出しましょう。ｎは２から１２までだから、(分子、分母)＝(２、４１)(３、４４)(４、４７(５、５０)(６、５３)(７、５６)(８、５９)(９、６２)(１０、６５)(１１、６８)(１２、７１) で終わります。ですから、答えはｎ＝５、７、１０ この問題はある有名な高校の数学の入試問題です。中学入試の算数としても出てきそうですね。私の個別指導の教室では、よく中学生の数学や小学生の算数で、書き出してごらん、すぐに終わるからと言います。すると、数学でも算数でも２、３分で終わって生徒は驚きます。場合の数だけでなく、階差数列等も２０項くらいまでなら、直ぐに終わりますね。