問題…ｋにどのような値を与えても、直線 L ： (ｘ一２ｙ)＋ｋ(ｘ一ｙ一１)＝０ は常に定点□を通ります。また、点Ｐ、ＱをＰ(１、３)、Ｑ(５、１)とするとき、線分ＰＱと直線 L が交わるようなｋの値の範囲は□になります。
…解答と解説…
L ： (ｘ一２ｙ＋３)＋ｋ(ｘ一ｙ一１)＝０ が任意のｋに対して成り立つのは、ｘ一２ｙ＋３＝０ かつ ｘ一ｙ一１＝０ のときです。この連立方程式を解いて、ｘ＝５、ｙ＝４ よって、定点の座標は、(５、４) …最初の答えです。次に、ｆ(ｘ、ｙ)＝(ｘ一２ｙ＋３)＋ｋ(ｘ一ｙ一１) とおきます。直線 L が線分ＰＱと交わるためには、２点Ｐ、Ｑが L に対して、反対側に位置すればよいので、ｆ(Ｐ)×ｆ(Ｑ)≦０ ここで、ｆ(Ｐ)＝ｆ(１、３)＝一２一３ｋ また、ｆ(Ｑ)＝ｆ(５、１)＝６＋３ｋ よって、(一２一３ｋ)(６＋３ｋ)≦０ よって、(３ｋ＋２)(３ｋ＋６)≧０ よって、ｋ≦一２ 、一２／３ ≦ ｋ …答えです。ある大学入試の数学の問題です。定点の方は簡単と思います。
線分ＰＱと交わる方も、結構見かける問題です。ご注意下さい。東京都 算数、数学個別指導塾、序理伊塾。