問題…実数 ｘ、ｙ が ｘｘ＋ｙｙ＝１ という関係を満たしながら動くとき、点Ｐ(ｘ＋ｙ、ｘｙ)の軌跡を求めなさい。
…解答と解説…
ｘ＋ｙ＝ｕ、ｘｙ＝ｖ とします。すると、ｘｘ＋ｙｙ＝１ から (ｘ＋ｙ)(ｘ＋ｙ)ー２ｘｙ＝１ よって、ｕｕー２ｖ＝１ よって、ｖ＝(１/２)ｕｕー１/２ …† また、ｘとｙは２次方程式 ｔｔーｕｔ＋ｖ＝０ の２つの実数解なので、判別式をＤとすると、Ｄ＝(ーｕ)(ーｕ)ー４ｖ≧…† †を†に代入して、ーｕｕ＋２≧０ これを解いて ー√2≦ｕ≦√2 よって、点(ｕ、ｖ)の動く範囲は、放物線 ｖ＝(１/２)ｕｕー(１/２)の、ー√2≦ｕ≦√2 の部分 以上から、求める軌跡は、放物線 ｙ＝(１/２)ｘｘー(１/２)の ー√2≦ｘ≦√2 の部分…答えです。大学入試の数学、軌跡です。ｘ＋ｙ＝ｕ、ｘｙ＝ｖ とおくのがポイントです。あと気を付けなければならないのは、ｘとｙが、２次
方程式の２解となるから、判別式を考えなければならないことです。数学個別の私の塾では、和積から２次方程式に持ち込むことを日頃から教えています。東京都 算数個別、数学個別、序理伊塾。